上篇 — 思維能力重於運算技巧

 

(內容來自2015年8月1日灼見名家專訪 )

 

編按：2015年7月27日，正於美國普林斯頓大學主修數學的香港學生盧安迪，在香港大學訪問當代數學大師蕭蔭堂教授。蕭教授為哈佛大學數學教授，早年獲普林斯頓大學博士學位。兩人雖生於不同年代，但同樣醉心數學，是次訪談是兩代數學研究者的對話。

 

撰文：盧安迪

 

蕭蔭堂教授是當今最傑出的華裔數學家之一。他獲香港大學學士學位、明尼蘇達大學碩士學位、普林斯頓大學博士學位，現為哈佛大學數學教授。蕭教授的研究領域包括

分析、微分幾何、代數幾何，曾三度獲邀於國際數學家大會（1978、1983、2002）發表演說，並曾獲美國數學會頒發 Stefan Bergman Prize。

 

蕭教授的博士導師為 Robert C. Gunning 教授，筆者就讀普林斯頓大學一年級時亦為 Gunning 教授的學生（他現已80多歲）。當筆者跟 Gunning 教授提起蕭教授，Gunning 教授馬上指出，蕭教授是極少數在哈佛、耶魯、史丹福三間學府都做過正教授的數學大師！

 

 

蕭：蕭蔭堂教授

盧：盧安迪

 

盧：您當初是如何找到 Gunning 教授當博士導師的？

 

蕭：我在明尼蘇達大學讀碩士時，師從 Calabi 教授，他對我影響很深。你或許也聽說過他。（盧：是啊！他跟丘成桐教授合作提出了「卡拉比—丘流形」。） Calabi 教授一生沒有太好的教席，最好也只是去到賓州大學，我的教席都比他好。因為他的研究實在領先時代很多，別人都不知道他在說什麼，所以一直懷才不遇。當我上 Calabi 教授課的時候，我是班上唯一的學生。上完一堂後，他便請我去他家吃飯，他是一個很有人情味的人。

 

當普林斯頓錄取了我後，我就選導師的事情問 Calabi 教授的意見。他說普林斯頓教授的學問全都登堂入室，但其中 Milnor 和 Gunning 最好人（按：John Milnor 後來拿了數學界最高殊榮——菲爾茲獎）。但那年 Milnor 剛好休假，最後我便跟了 Gunning 教授。

 

輾轉入讀普林斯頓

 

其實，當普林斯頓剛剛收我時，我聽說那裏很大競爭，很多人精神崩潰，就像最近過身的 John Nash，所以我便不想去普林斯頓了。當我告訴 Calabi 教授此事，他問：「那麼你想去哪裏？」我說：「我沒有申請其他地方啊。」「我不是問你申請哪裏，是問你想去哪裏。」「那麼⋯⋯我想去加州大學柏克萊分校，我有些朋友在那裏。」Calabi 教授聽罷，馬上打了個電話去柏克萊，打完電話後跟我說：「柏克萊收了你，還給你獎學金。」多年後我才知道，原來當時在柏克萊聽電話的是德高望重的陳省身教授，由他一錘定音。但最後我還是去了普林斯頓。

 

Gunning 教授很好人，很風趣，你也上過他的課吧？（盧：我一年級第一個數學課程就是他教的。）他常常在黑板上寫錯內容，我最初心想：這個老師怎麼如此「烏龍」？後來我發現他是故意做戲，引起學生的興趣，讓學生指出他的錯。

 

盧：原來如此！我就是最常指出他的錯的學生！

 

讀論文  學習大師思路

 

蕭：我在普林斯頓上了 Gunning 教授老師 Bochner 教授的研討班。Bochner 教授的研究博大精深，人們說他在每個範疇都數一數二。那個研討班是要我們輪流報告大師的論文，我花了很多心血準備，把論文的思路重新整理的一遍。豈料我講了不到幾分鐘，Bochner 教授便喊停：「不對不對，那個作者一定不是這樣說的！我是叫你報告他的論文，不是叫你重組！就像別人叫你彈貝多芬，不是叫你把貝多芬的歌重寫一遍！」

 

Bochner 教授接着解釋，大師的論述雖然未必適合我當時的背景，但我們就是要通過理解大師的論述，學習他的思維。我重組論文的一番心血付諸東流，頓感有點沮喪，事後 Gunning 教授走過來鼓勵我："Great presentation！" 雖然他平時像一個英國紳士，但讚人時卻像美國人那麼慷慨。

 

盧：我注意到，哈佛、普林斯頓等美國頂級大學的數學課程十分抽象和概括（general），例如一教積分（integration）便直接跳到 n 維的情況，不太理會具體計算。另一方面，我見過一些香港的大學的筆記，有很多一維積分的運算習題。

 

運算訓練捨本逐末

 

蕭：因為香港的教育是以考試為本位，要用很難的運算題目來篩選學生。香港、中國大陸和台灣都花很多時間訓練這些技術性的運算，算得很快，但這跟概念理解、智力發展和學術研究沒有大關係。運算並非重要的學問，尤其是現在的運算可用機器幫忙。

 

我聽過一個很有道理的說法：現在有機器輔助運算，我們學運算還要學到什麼程度呢？就是要學到如果在機器上按錯一個鍵，出了錯的答案，你能意識到答案是錯的。其實這可能比直接運算更難，因為你沒有經過自己運算，就要對答案有個基本的概念，能判斷答案的對錯。

 

概念比什麼都重要。例如在微積分中，ε-δ 的分析是最重要的，但很多學校都沒有強調要明白這些邏輯概念。即使不是學數學，也很值得明白 ε-δ 的道理，因為它用有限的步驟描述了無限的過程，是人類思想一個很重要的轉捩點。

  

但很多時候，學校還是比拼運算能力的場所，誰算得快誰就贏。我有一名朋友，曾嘗試在公開試中引入 ε-δ 的元素，例如：「已知：如果 |x– x0| < δ，則保證 |f(x)– f(x0)| < ε（其中 f 為某連續函數，ε 為某正實數）。以下五個正實數中，那個是δ的可能值？」但他很快便發現，老師教學生的技巧是：你們不用明白什麼是 ε-δ，總之選最小的那個答案就一定對了！

 

盧：哈哈，我很同意，學數學最重要是學習其邏輯和基本思維。

 

思維比知識重要

 

蕭：是啊，有很多數學博士生，甚至數學本科畢業生，在金融業都很搶手。他們當然不是懂得很多金融知識，但數學訓練了他們的思維、分析的能力。僱主請人時，除了申請人已經有什麼知識外，更注重的是他學習並應用新的知識的能力。

 

盧：即使在學術界內，一些科目例如經濟學、計算機科學等，現在都愈來愈量化，所以這些科目的研究院都很喜歡錄取本科讀數學的學生。

 

蕭：是的，學問的量化是全球人類文化的趨勢。無論做什麼範疇，都需要根據數據作出決策。所以整個教育制度，除了專業知識外，思維和分析的能力十分重要。

 

盧：蕭教授，您對將來有興趣讀數學的同學有什麼忠告？

 

蕭：首先是要循序漸進。正如我剛才所說，香港的教育是以制度為本位，不是以學生的潛質為本位，所以學生的成績符合基本要求是很重要的。此外，也可多跟志同道合的同儕交流，多參加數學講座。美國有很多學術的夏令營，香港現在好像少了，如果能參加也是很有益處的。至於自己思考方面，則可嘗試把學到的知識重新整理一遍，用自己的方式寫出來。這樣一方面能促進自己的理解，也可增加興趣和成就感，鼓勵自己繼續努力。

 

【兩代數學人對談下篇】 教育應以學生潛質為本